2022年10月28日
这是一篇旧文，写于读博第一年，2009年秋季。最初是校内网日志，后来校内网关停，就存了word。但不记得最初的写作与发布时间了。以下内容原封不动，一方面作为博士求学的纪念，另一方面作为经济学博士第一年三高课程大量数学训练的一些感悟。即是感悟，就受当时思想水平的限制，因此有些内容现在看有些幼稚。不过总体反映了严格的经济学博士基础理论训练涉及的数学要求。重发此文，供有心攻读博士的学生做参考。
此外，我的印象中，博士第一年每周的学习时间大概在100-110小时之间。高微、高宏、高计加数理方法，上课大概15小时，看参考书、文献大概60小时，做4门课的作业大概25小时。每天睡觉大概6-7小时，做饭加吃饭1-2小时。非常充实。很多年后看Kreps在Microeconomic Foundation I里写到，他预期博士生们按照每上课1小时，自学4小时的强度，上第一年的基础理论课。诚不欺我。
其中大部分中文人名是大学同学和老师；部分明显错漏，用【】进行了注释修订。
按：最近很多人说我好像从网络中消失了……我想可能部分在于我潜水过多，言论太少……but，借用那个“什么东西”（见8皮n天以前某个状态）的说法：这水不是我们自己想潜，而是studying mathematics at economics department逼得我们没办法，不得不潜 -.-!!!
As long as a branch of science offers an abundance of problems, so long is it alive.
——David Hilbert, Paris, 1900
在我印象中，Hilbert语录总是出现在通俗/严肃数学书，或者量子物理教科书/科普的扉页或者章节按语里。不过昨天晚上看到的上面这句话总算让我今天振奋起来决定写这篇日志。原因很简单，这是一本叫做Introduction to Modern Economic Growth的大厚书的第一句话。
如果这书只是引述这句话（注意时间是1900）来体现经济增长理论的勃勃生机，那可能也就跟金庸引一句《离骚》做开篇辞的效果一样。不过事实是，这本经济系一年级研究生教材的附录中包含了如下内容：Tychonoff’s Theorem, Azela-Ascoli Theorem, Correspondences and Berge’s Maximum Theorem, Kakutani’s Fixed Point Theorem (with Brouwer’s Fixed Point Theorem as a corollary), Geometric Hahn-Banach Theorem, Kuhn-Tucker Theorem, 甚至经典例子如dual space of l∞ is not l1…而且上述结论不是直接证了就是留作习题。
按照此书作者Daron Acemoglu公的说法：I believe that even somewhat long proofs are easier to understand than general statements made without proof, which leave the reader wondering why these statements are true. 于是为了圆满地通过dynamical system，dynamic programming and optimal control (变分法)三个核心方法给出一年级教学内容的全部证明，附录中的内容就都成了需要熟练掌握的。
另一个的典型例子出现在Lucas and Stokey with Prescott (1989)中，略过开篇介绍后的第一小节就是Metric Space and Normed Vector Space……而在讲了足够泛函（包括Schauder不动点定理）之后不久，就从π系开始对measure theory进行了“少量”的investment，作者很高兴的宣布：你看，测度论正快速的成为不确定性经济学的标准语言！于是，理所当然的，马氏链，强收敛，弱收敛，遍历定理，stochastic Eular equation就统统出现了。
记得很早以前看过一些介绍Lucas的文章，据说此公原来是学历史的，后来花了10年时间学了足够的数学就转了经济……【注：是转了经济之后，才陆续补了数学】
当然不是所有基础课都会用到这些advanced mathematics，像micro这样的课程，至多也就是fixed point theorem之类（实际上fixed还不是point，而是在correspondence之下的不变集），主要还是基本的微积分和线性代数——但即便是线性代数，限制在子空间上为负定二次型矩阵的等价顺序主子式条件，也几乎不会出现在大学一年级的教材中。
不过并不是说micro不能变的fancy，当然MWG这样的流行“宝典”是不会很fancy的（我怀疑甚至有张宇辰手下“28页”的作风），但像Rubinstein的讲义，就会在第一节用到R1的基数大于Q【有理数集】这样的结果，以至于后来使用了和Urysohn引理几乎相同的技巧证明效用函数存在时，也就不怎么奇怪了（想当初保祥哥还盛赞Urysohn引理的构造真是让人眼前一亮）。当然，如果按照当年Debreu的方法，使用商拓扑可能还要更加简洁一些。这也让我想起来不记得在哪里看到的一句话：过了一段时间，“我”（可能是Hurwicz或者是Uzawa）发现，原来从需求函数得出偏好的所需要的可积性条件就是Frobenius条件。
可能很多看这篇文章的人已经对这样乏味的叙述概念、定理、人名的方式感到忍无可忍，甚至拂袖而去（这句话是废话）。不过我还是忍不住想讲最后一个例子。前几天翻阅了一下标题为Methods of Mathematical Finance（MMF）的书，作者是Karatzas（哥大统计系？【注：哥大数学系】）和Shreve（CMU，徐凯的衍生产品就用他的书做教材）。当初和猫一块在中图逛，猫买了一本他俩合写的Brownian Motion and Stochastic Calculus（BMSC）说以后可能会要用来做教材，我说我还是买本低端些的MMF吧，不用整天和σ域肉搏。结果那次翻阅的结果是，他们居然把BMSC作为MMF的基础读物！omg……后来仔细看了序言，才发现下面一段话：
A mathematical monograph (专著) on finance can be written today…mathematics including probability, statistics partial differential equations and their numerical analysis (and their) genuine research problems are now deeply intertwined with the theory and practice of finance.
再看看那个接近700篇的文献列表，上面提到的那些经济学家的名字几乎悉数在列。
有时候我搞不清现在是economists doing mathematics还是mathematicians doing economics。因为像代数几何这种fancy的玩意能在computational economics里大行其道（显然，代数几何和computational两个词似乎都和economics不沾边），已经足够让人“惊讶”了。你可以argue说当年是von Neumann和Nash这些人杀开博弈论的一条坦途，也可以说Black, Scholes是应用数学家（Black ms实际上是搞统计物理的）。不过，时过境迁，现如今一个mathematics的幽灵正毋庸置疑的徘徊在economics的上空——或者更准确的说，经济PhD的预备课程清单中，数学部分已经远远超过了微积分和线性代数的范围，而且经济PhD职业训练过程中数学工具的部分还在逐渐增加。
姚洋说，今年经济学诺奖的颁发可以看做“经济学向文学传统的回归”【指09年诺奖颁给制度经济学家Ostrom和Williamson】——或许，更准确的说法是对“经济学精髓之文学表达”的奖励，而绝非“经济学”的回归。每一个学科的“精髓”都可以用文学的形式来归纳，包括数学，不过揭示并解释这些“精髓”的手段却越来越数学化。
这也是现在有越来越多的mathematician in economics department的原因（by老景的提示加了“原因”二字）。