经济学中的线性代数:现代观点

线性代数在现代经济学理论与应用中占据核心地位,但国内目前并没有一本适合“一流高校、一流专业”高素质学生教学需求的线性代数教科书。这对于“双一流”建设而言是一大弊端。本网页旨在罗列一个可以不断扩充内容的线性代数教学大纲,定位是经济学专业本科教学。取“现代观点”视角,意在强调1990年代后经济学各领域新发展渐次进入研究生、本科生教学内容中。与这一潮流相匹配,经济学类线性代数教学导向、内容、方法也亟需采取“现代观点”。

  • 可能管理学本科教学中也存在线性代数不足的问题,但我不懂管理学,因此只能从经济学的角度来组织课程内容。
  • 线性代数实在重要,但又通常列为各高校的公共必修课,由数学院、系组织老师讲授,经常出现数学老师教学内容与经济学理论学习要求之间的不匹配。但目前也没有更好的办法将线性代数这样的课程全部挪回经济院系讲授,因此只能罗列一个大纲,为未来可能的教材做铺垫,也为自己思考与感兴趣的学生学习做参考。
  • 以下大纲突出线性代数与几何直观、代数计算的统一。

以下为一个大纲,按16周教学进行安排

  1. 命题、逻辑、集合与数域的基本概念,有理数、实数与复数
  2. 线性空间的概念(加法与数乘),欧氏空间的例子,向量与线性无关,线性变换(一个向量到另一个向量),矩阵(线性变化视角),矩阵与向量乘法
  3. 低维欧氏空间的例子(2维与3维),向量的内积与垂直,平行四边形的面积与平行六面体的体积,行列式的直观涵义
  4. 线性空间的基,基与向量坐标表示,基变换,几何对象在基变换下的不变性
  5. 从列向量、行向量空间角度看矩阵(空间视角),矩阵的秩,矩阵的行向量、列向量子空间,矩阵乘法
  6. 从矩阵列向量子空间角度看线性方程组,线性方程组的代数求解(高斯消元法)
  7. 方阵,单位阵,方阵的可逆性,可逆性与秩的关系
  8. 方阵作为列、行向量空间的几何涵义,方阵的行列式及展开公式,行列式与秩、可逆性的关系
  9. 方阵的伴随矩阵,方阵求逆的Cramer公式,行列式与方阵求逆的代数封闭性
  10. 方阵的特征值、特征向量与特征多项式,代数基本定理,特征多项式与方阵的迹和行列式的关系
  11. 方阵的特征值分解及其存在性,方阵的Jordan分解介绍(不讲证明,只介绍结果),方阵的幂次运算
  12. 实对称矩阵,线性空间上的双线性函数与矩阵二次型函数,实对称矩阵的特征值分解,正交矩阵
  13. 正(负)定矩阵,半正(负)定矩阵,几何涵义,顺序主子式与正(负)定矩阵判别法,多元函数极值与2阶Taylor展开
  14. 线性空间中的投影,几何涵义与矩阵代数表达
  15. 正数矩阵,Markov转移矩阵及其性质
  16. 复习,或方阵的奇异值分解与对称矩阵的上三角分解