线性代数在现代经济学理论与应用中占据核心地位，但国内目前并没有一本适合“一流高校、一流专业”高素质学生教学需求的线性代数教科书。这对于“双一流”建设而言是一大弊端。本网页旨在罗列一个可以不断扩充内容的线性代数教学大纲，定位是经济学专业本科教学。取“现代观点”视角，意在强调1990年代后经济学各领域新发展渐次进入研究生、本科生教学内容中。与这一潮流相匹配，经济学类线性代数教学导向、内容、方法也亟需采取“现代观点”。
- 可能管理学本科教学中也存在线性代数不足的问题，但我不懂管理学，因此只能从经济学的角度来组织课程内容。
- 线性代数实在重要，但又通常列为各高校的公共必修课，由数学院、系组织老师讲授，经常出现数学老师教学内容与经济学理论学习要求之间的不匹配。但目前也没有更好的办法将线性代数这样的课程全部挪回经济院系讲授，因此只能罗列一个大纲，为未来可能的教材做铺垫，也为自己思考与感兴趣的学生学习做参考。
- 以下大纲突出线性代数与几何直观、代数计算的统一。
以下为一个大纲，按16周教学进行安排
- 命题、逻辑、集合与数域的基本概念，有理数、实数与复数
- 线性空间的概念（加法与数乘），欧氏空间的例子，向量与线性无关，线性变换（一个向量到另一个向量），矩阵（线性变化视角），矩阵与向量乘法
- 低维欧氏空间的例子（2维与3维），向量的内积与垂直，平行四边形的面积与平行六面体的体积，行列式的直观涵义
- 线性空间的基，基与向量坐标表示，基变换，几何对象在基变换下的不变性
- 从列向量、行向量空间角度看矩阵（空间视角），矩阵的秩，矩阵的行向量、列向量子空间，矩阵乘法
- 从矩阵列向量子空间角度看线性方程组，线性方程组的代数求解（高斯消元法）
- 方阵，单位阵，方阵的可逆性，可逆性与秩的关系
- 方阵作为列、行向量空间的几何涵义，方阵的行列式及展开公式，行列式与秩、可逆性的关系
- 方阵的伴随矩阵，方阵求逆的Cramer公式，行列式与方阵求逆的代数封闭性
- 方阵的特征值、特征向量与特征多项式，代数基本定理，特征多项式与方阵的迹和行列式的关系
- 方阵的特征值分解及其存在性，方阵的Jordan分解介绍（不讲证明，只介绍结果），方阵的幂次运算
- 实对称矩阵，线性空间上的双线性函数与矩阵二次型函数，实对称矩阵的特征值分解，正交矩阵
- 正（负）定矩阵，半正（负）定矩阵，几何涵义，顺序主子式与正（负）定矩阵判别法，多元函数极值与2阶Taylor展开
- 线性空间中的投影，几何涵义与矩阵代数表达
- 正数矩阵，Markov转移矩阵及其性质
- 复习，或方阵的奇异值分解与对称矩阵的上三角分解
一些出色的参考资料
- 西北农林科技大学林开亮老师的讲座《美妙的数学第六讲：向量空间的几何》[ link ]、《我对线性代数课程的点滴认识》[ link ]
- Axler (2023), Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer.
- Spence, Insel, and Friedberg (2014), Elementary Linear Algebra: A Matrix Approach, 2nd edition, Pearson Education, Inc.
- 这本书更强调几何视角，很直观
- 同组作者有另一部更适合数学专业的本科教材：Friedberg, Insel, and Spence (2019), Linear Algebra, 5th edition, Pearson Education, Inc.
- 国内新一代最佳代数教材：李文威，《代数学讲义》，北京大学出版社，既出
- 国内常见教材推荐：李尚志，《线性代数》（非数学专业），高等教育出版社，2011
- 推荐李老师一篇讲述数学与文学的纪念文章：《我的导师曾肯成与文学的故事》
- 电子工程师编写的“业余”教材，但完全的几何视角对常规教材是很好的补充：任广千、谢聪、胡翠芳，《线性代数的几何意义》，西安电子科技大学出版社，2015
- 另外一本配套大量几何插图的教材：耿修瑞，《矩阵之美（基础篇）》，科学出版社，2023
- 第1–4章对线性变换进行了非常直观的讨论，配以精美彩图
- 另有偏重算法的续编：耿修瑞、朱亮亮，《矩阵之美（算法篇）》，科学出版社，2025
- 1981版中学数学实验教材：第1册，第2册，第3册，第4册，第5册，第6册（上、下），合辑 [ pdf ]
- 南京大学朱富海教授有一组很好的微信公众号文章《问题引导的高等代数》，用一系列问题把线性代数与多项式（即通常高等代数的内容）按照极强的逻辑性串联起来，同时穿插介绍了很多概念和理论的发展历史。另有与陈智奇共同编著的教材《高等代数与解析几何》，可以作为参考
- 对“若尔当标准型”的发现者、法国数学家Jordan的纪念文章《披着工程师外衣的数学家》，作者丁玖，发布于返朴公众号
- 方阵A逆矩阵B的代数定义要求AB=BA=I，如果只定义AB=I想证明BA=I，并不容易；朱慧坚、丁玖在返朴公众号的文章《从反函数的观点看逆矩阵》（2025.1.23），从几何角度重新解释了逆矩阵的含义，并由此说明若B满足AB=I，必有BA=I